
\let\a\alpha
\let\b\beta

1) Pro $n=1$ tvrzen� plat�: $\sin x \le \sin x$.
 Pro $n=2$:
   
\begin{eqnarray*}
      \bigl| \sin(\a+\b) \bigr|     & \le & \sin \a + \sin \b \\
      |\sin \a\cos \b+\sin \b\cos \a|   & \le & \sin \a + \sin \b
\end{eqnarray*}

   Pon�vad� $\cos\a$ a $\cos\b \in \langle -1, 1 \rangle$, m��eme je vynechat, ani�
   bychom zmen�ili levou stranu:
   $$
      |\sin\a + \sin\b| \le \sin\a + \sin\b
   $$
   Vzhledem k podm�nce, �e $0\le\a\le\pi$ a $0\le\b\le\pi$, jsou
   hodnoty $\sin\a$ a $\sin\b$ nez�porn�. Proto m��eme ps�t:
   $$
      \sin\a + \sin\b \le \sin\a + \sin\b,
   $$
   co� plat�.\\
   2) $n\rightarrow n+1$
   \begin{eqnarray}
      \bigl| \sin(x_1 + \ldots + x_n) \bigr| & \le & \sin x_1 + \ldots +
         \sin x_n\\
      &\Downarrow\scriptstyle?&\nonumber\\
      \bigl| \sin(x_1 + \ldots + x_n + x_{n+1}) \bigr| & \le & \sin x_1 + \ldots
         + \sin x_n + \sin x_{n+1}
   \end{eqnarray}
   Ode�teme nerovnost (1) od (2) a ozna��me $\a\equiv x_1+\ldots+x_n$
   a $\b\equiv x_{n+1}$ (pro pohodln�j�� z�pis):
   $$
      \bigl| \sin(\a + \b) \bigr| - |\sin\a| \le \sin\b
   $$
   Znovu pou�ijeme toho, �e $\sin\a\ge0$, pro odstran�n� absolutn� hodnoty
   z $|\sin\a|$:
   $$
      \bigl| \sin(\a + \b) \bigr| \le \sin\b + \sin\a
   $$
   T�m jsme dostali nerovnost, kterou jsme ji� dok�zali d��ve (pro p��pad
   $n=2$).~\checkmark
  