% Priklad do sbirky, kapitola 12, tezky priklad c. 1
% Napsano v LaTeXu

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[cp852]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\en}{\mathbb N}

\newcommand{\implies}{\Longrightarrow}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}

\newcommand{\lm}{\lim_{n \to \infty}}
\newcommand{\ls}{\limsup_{n \to \infty}}
\newcommand{\li}{\liminf_{n \to \infty}}

\newcommand{\seq}[2]{(#1_#2)_{#2=1}^{+\infty}}


\begin{document}

Nechť $\seq{a}{n}$ je posloupnost kladných reálných čísel. Označme
%
\[ A = \ls \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
%
Zvolme $\eps > 0$ libovolné. Potom existuje $n_0 \in \en$ takové, že
%
\[ n \ge n_0 \implies \frac{a_{n+1}}{a_n} < A + \frac{\eps}{2} \]
%
Indukcí snadno dokážeme, že pro každé $k \in \en$ je
$a_{n_0+k} < a_{n_0} \, (A + \eps/2)^k$. Zvolme číslo $K$ takto:
%
\[ K = \max \left\{ \frac{a_1}{(A+\eps/2)}, \frac{a_2}{(A+\eps/2)^2}, \dots,
   \frac{a_{n_0}}{(A+\eps/2)^{n_0}} \right\} \]
%
Potom pro každé $n$ přirozené platí $a_n \le K \, (A + \eps/2)^n$, a tedy
%
\[ \sqrt[n]{a_n} \le \sqrt[n]{K} \, \left( A + \frac{\eps}{2} \right) \]
%
Protože $\lm \sqrt[n]{K} \, (A + \eps/2) = (A + \eps/2)$, existuje $m \in \en$ takové, že
%
\[ n > m \implies \sqrt[n]{a_n} < A + \eps \]
%
To znamená, že
%
\[ \ls \sqrt[n]{a_n} \le A + \eps \]
%
Protože jsme $\eps$ zvolili jako \emph{libovolné} kladné číslo, platí:
%
\[ \ls \sqrt[n]{a_n} \le A = \ls \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
%
Nerovnost $\li \sqrt[n]{a_n} \le \ls \sqrt[n]{a_n}$ je zřejmá.
%
Pokud
%
\[ \li \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 \]
je nerovnost 
%
\[ \li \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \li \sqrt[n]{a_n} \]
%
zřejmá. Jinak ji dokážeme analogicky jako
%
\[ \ls \sqrt[n]{a_n} \le \ls \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
%
pouze s tím rozdílem, že $\eps$ nemůžeme volit libovolně, ale tak,
aby
%
\[ \li \frac{a_{n+1}}{a_n} - \eps > 0 \]

\end{document}
