\subsubsection {}
Spoètìte
$$\lim\limits_{x\to a} \frac{\sum\limits_{n=0}^{p}a_n(x-a)^n}
{\sum\limits_{n=0}^{q}b_n(x-a)^n}$$ 
v závislosti na volbì celých nezáporných èísel $p$ a $q$ a reálných 
èísel $a_n$ a $b_n$.
 



\subsubsection {}
Poèítejte limity
$$\lim\limits_{x\to 0} (\frac{1}{\arcsin(x)}-\frac{1}{\sin(x)});
\ \lim\limits_{x\to 0} 
\frac{\sin(\sin(x)-x+\frac{x^3}{6})}{\sin(x)-x+\frac{x^3}{6}}$$
$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(\sin x - x +
\frac{x^3}{6})}{x} \quad \lim\limits_{x\to 0} 
\frac{\sin(\sin(x)-x+\frac{x^3}{6})}{x}.$$
 Poslední limity zatím neumíme. Proè?



\subsubsection {}
Poèítejte limity
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}, \ 
  \lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos(x^2)-\cos(x)}{x^2}, \ 
  \lim\limits_{x\to 0} \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x\sin(x)},$$
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\tan(x)-x}{x-\sin(x)}, \ 
  \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\sin(x)-x}{\sin(x)+x}, \ 
  \lim\limits_{x\to 0} \left( \frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x}\right).$$
 



\subsubsection {}
$$\lim\limits_{x\to 0_+} x^{(x^x)}, \ 
         \lim\limits_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}, \ 
         \lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\log(e-x)+x-1}, \ 
         \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sqrt{2x-x^4}- \root 3 \of 
         x}{1-\root 4 \of {x^3}}.$$
 



\subsubsection {}
} Urèete asymptotu funkce $f(x) = \frac{x^{(1+x)}}{(1+x)^x}$ v 
$+\infty.$
 



\subsubsection {}
Spoètìte limity
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin(x)}, \ 
  \lim\limits_{x\to 0} \cot^2(x)-\frac{1}{x^2}, \ 
  \lim\limits_{x\to 0} \left( \frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos 
  x}},$$
$$\lim\limits_{x\to 0} \left( \pi\over 2-\arctan x\right)^{\frac{1}{\log 
x}}, \ 
  \lim\limits_{x\to \infty} \left( 2\over\pi\arctan x\right)^x.$$
 



\subsubsection {}
Rozhodnìte, zda platí, že je-li $ax+b$ asymptota $f$ v $+\infty$ a 
existuje-li derivace $f$ na ${\Bbb R }$, pak je 
$\lim\limits_{x\to\infty}f'(x) = a.$     