\subsubsection {}
Dokažte ekvivalenci:

$\int\limits_a^b f = I \Leftrightarrow \forall_{\varepsilon > 0} 
\exists_{\delta > 0} \nu(D) < \delta \Rightarrow |S(f,D) - I| < 
\varepsilon \& |s(f,D) - I| < \varepsilon.$


\subsubsection {}
Počítejte tyto a další určité integrály.

$\int\limits_0^1 \frac{dx}{1+x},\ \ \int\limits_{-2}^{-1} 
\frac{dx}{x^3},\ \ \int\limits_2^5 \frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^2}},$

$\int\limits_e^{e^2} \frac{dx}{x \ln x},\ \ \int\limits_1^e 
\frac{\sin(\ln x)}{x},\ \ \int\limits_{\pi\over 6}^{\pi\over 3} 
\operatorname{cotg} ^4\varphi d\varphi,\ \ \int\limits_0^1 
\frac{xdx}{x^2+3x+2}.$



\subsubsection {}
Spočtěte s použitím Riemannova integrálu:

$\lim (\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}),
 \lim (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +\dots +\frac{1}{n+n})$
 
pro $n$ konvergující k nekonečnu.


\subsubsection {}
Spočtěte ("zobecněné") integrály:

$\int\limits_0^1 \frac{dx}{x},\ \ \int\limits_{-\infty}^{\infty} 
\frac{dx}{x^2+4x+9},\ \ \int\limits_0^{1\over 2} \frac{dx}{x \ln^2 x},\ 
\ \int\limits_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$




\subsubsection {}
Rozhodněte, které z následujících integrálů existují, které 
konvergují a v jakém smyslu (jako Riemannovy, Newtonovy, zobecněné 
Riemannovy):

$\int\limits_0^{100} \frac{dx}{\root 3 \of {x} + 2 \root 4 \of {x} + x^3},\ 
\ \int\limits_{\pi\over 2}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2},\ \ 
\int\limits_0^{\infty} \frac{xdx}{\sqrt{x^5+1}}.$



\subsubsection {}
Počítejte

$\int\limits_0^{\pi} \frac{dt}{3+2\cos t},\ \ \int\limits_0^5 
\frac{dx}{2x+\sqrt{3x+1}},\ \ \int\limits_1^e \ln x dx,$

$\int\limits_0^{\infty} xe^{-x}dx,\ \ 
\int\limits_0^{\infty} e^{-ax}\cos bx dx$ pro různé hodnoty $a,b\in
{\Bbb R }$.



\subsubsection {}
 Počítejte délku různých křivek a jejich částí, např. obvod 
kruhu, obvod elipsy, délku úseků paraboly, hyperboly atd.

Spočtěte délku křivky zadané vztahy

$y = 2\sqrt{x}$ pro $x\in <0,1>$,

$y=e^x$ mezi body $(0,1)$ a $(1,e)$,

$y=\ln x$ pro $x\in <\sqrt{3}, \sqrt{8}>$.




\subsubsection {}
Počítejte obsah plochy (velikost plochy) kruhu, (vnitřku) 
elipsy, různých úsečí, mezikruží atd.  



\subsubsection {}
Dokažte, že pro každou spojitou funkci na intervalu $<0, 
\frac{\pi}{2}>$ platí 
$$\int\limits_0^{\pi\over 2} f(\sin x) dx = \int\limits_0^{\pi\over 2} 
f(\cos x) dx.$$



\subsubsection {}
Porovnejte velikosti integrálů $\int\limits_0^1 x^2 \sin^2 x dx$ 
a $\int\limits_0^1 x \sin^2 x dx.$




\subsubsection {}
Dokažte nerovnosti 
$$0 < \int\limits_{100 \pi}^{200 \pi} \frac{\cos x}{x} dx < \frac{1}{100 
\pi}.$$ Návod: použijte metodu per partes.




\subsubsection {}
Určete definiční obor funkce $\Gamma(p) = \int\limits_0^{\infty} 
x^{p-1} e^{-x} dx.$



\subsubsection {}
Rozhodněte o konvergenci integrálů (zobecněných Riemannových, 
Newtonových) $\int\limits_0^{100} \frac{dx}{{\root 3 \of x} + 2 {\root 4 
\of x} + x^3}$, $\int\limits_0^1 \frac{\log (1 + x^2)}{(\sin x)^n} dx$, 
$\int\limits_1^{\infty} \frac{dx}{2 x + {\root 3 \of {x^2 + 1}} + 5}.$
 



\subsubsection {}
Dokažte, že platí 
$$\int\limits_{-1}^1 (\int\limits_0^2 \sin (x^2 + y^4) dx) dy = 
\int\limits_0^2 (\int\limits_{-1}^1 \sin (x^2 + y^4) dy) dx.$$


 



\subsubsection {}
Zaměňte pořadí integrace v následujících dvojnásobných 
integrálech spojité funkce $f$ na ${\Bbb R }^2$ a dokažte, že výsledek je v 
obou pořadích stejný. Napište dvojný integrál (v ${\Bbb R }^2$), 
kterému se oba 
dvojnásobné integrály rovnají.
$$\int\limits_1^2(\int\limits_x^{2x} f(x,y) dy) dx; 
\int\limits_0^r(\int\limits_x^{\root 2 \of {2 r x - x^2}} f(x,y) dy ) 
dx.$$


 



\subsubsection {}
Spočtěte $\int\limits_A f(x) dx$, kde

(a) $f(x_1, x_2) = x_1 x_2$ a $A = A_1 = \{(x_1,x_2) ; x_2 \ge 0, x_1^2 
+ x_2^2 \le 1\};$

(b) $f(x_1,x_2,x_3) = x_3$ a $A = A_2 = \{(x_1,x_2,x_3) ; x_1^2 + x_2^2 
\le 1, |x_3| \le x_1^2 + x_2^2\}.$

Spočtěte plochu $A_1$, objem $A_2$.
 
 



\subsubsection {}
Odvoďte odhad chyby pro přibližný výpočet Riemannova integrálu 
podobně jako pro lichoběžníkovou metodu (viz přednáška) 

(a) metodou "levých krajních bodů" pomocí $L_n$: 

je-li $f'(x)$ spojitá a omezená v absolutní hodnotě číslem $K_1$ na 
intervalu $<a,b>$, pak $|\int\limits_a^b f(x)\ dx - L_n| \le 
\frac{(b-a)^2\ K_1}{2n}$;

(b) metodou "pravých krajních bodů" pomocí $P_n$:

analogicky jako v (a);

(c) Simpsonovou metovou metodou; tvrzení viz přednáška.

 



\subsubsection {}
Pravděpodobnost měřitelné množiny $A \subset {\Bbb R }$ při 
normálním rozložení N(0,1) je dána rovností

$$P(A) = \frac{\int_A e^{\frac{-x^2}{2}}\ dx}{\int_{{\Bbb R }} 
e^{\frac{-x^2}{2}}\ dx}$$.

Spočtěte tzv. střední hodnotu při tomoto rozložení, t.j.

$$\frac{\int_{{\Bbb R }} x\ e^{\frac{-x^2}{2}}\ dx}{\int_{{\Bbb R }} 
e^{\frac{-x^2}{2}\ dx}}$$

a tzv. rozptyl, t.j.

$$\frac{\int_{{\Bbb R }} x^2\ e^{\frac{-x^2}{2}}\ dx}
{\int_{{\Bbb R }} e^{\frac{-x^2}{2}}\ dx}$$.
 



\subsubsection {}
Najděte $n$ tak, aby platilo, že 
"pravděpodobnost chyby větší 
než jedna při normálním rozložení N(0,1), t.j. $P((-\infty,-1)\cup 
(1,\infty))$ (viz předchozí cvičení), byla menší než $\frac{1}{10^k}$, 
když integrál $\int\limits_{-1}^{1} e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx$ odhadneme 
lichoběžníkovou nebo Simpsonovou metodou pomocí $T_n$, t.j. aby

$$\left|\frac{\int\limits_{\{x; |x| > 1\}} e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx}
        {\int\limits_{{\Bbb R }}         e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx} - 
        [1-\frac{T_n}
        {\int\limits_{{\Bbb R }}         e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx}]\right| 
        \le 
        \frac{1}{10^k}. $$