
\item{a)}
Substituce {$ x=r\cos \varphi , y=r\sin \varphi  $} (\cuvo polární
souøadnice") je prosté regulární
zobrazení \cuvo polopásu" {$ r>0, \varphi \in (0,2\pi ) $} na {$
\er_{2}-\{(x,y)\in \er;x\geq  0, y=0\} $} (rovina bez (uzavøené) nezáporné
poloosy {$ \boldkey x, $} tedy bez množiny míry nula). Její determinant je roven
{$ r.  $} Vzorem otevøeného prvního kvadrantu je množina {${ x>0,} {0<\pi
<\frac{\pi }{2}}
$} a z~vìty o~substituci tedy plyne
$$
\multline
  I=\int_{(0,\infty )\times (0,\frac{\pi }{2}) }^{} e^{-r^{2}}r\dr
  =\text{[Fubiniova vìta]}=\int_{0}^{\pi  /2}\left(\int_{0}^{\infty }
   e^{-r^{2}}r\dr\right)\dpf  = \cr
   \text{ [substituce {$
  r^{2}=u,r\dr=\frac{1}{2}\du $} ve vnitøním integrálu] }\cr
  =\int_{0}^{\pi  /2}\left(\int_{0}^{\infty
  }\frac{1}{2}e^{-u}\du\right)\dpf=
  \frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty }e^{-u}\du\right)\left(\int_{0}^{\pi
  /2}\dpf\right)
  =\frac{\pi }{4}.
\endmultline
$$
\item{b)}Platí
$$
\multline
\int_{x>0,y>0}^{}e^{-x^{2}-y^{2}}\dx\dy =\int_{0}^{\infty }
 \left( \int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\dx \right)\dy=\cr
 =\int_{0}^{\infty }\left( e^{-y^{2}}\int_{0}^{\infty
 }e^{-x^{2}}\dx\right)\dy=\left( \int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\dx\right)
 \left( \int_{0}^{\infty }e^{-y^{2}}\dy\right)=J^{2}.
\endmultline
$$
\item{c)}
Porovnáním výsledkù z~bodù a), b) dostaneme
$$
\align
  J^{2}&=\frac{\pi }{4},\cr
  J&=\frac{\sqrt{\pi} }{2}.\cr
  \endalign
$$