
Nejprve p�edpokl�dejme {$ x\neq 0 $} a �e�me rovnici pro {$ x>0,  $}
respektive pro {$ x<0. $}
\par
(i)\quad funkce {$y=1  $} je (trivi�ln�m) �e�en�m.

(ii) \quad Nyn� hled�me netrivi�ln� �e�en�, jdouc� bodem {$
[x_{0},y_{0}],\ y_{0}\neq 1. $}

$$
  \align
  xy'&=y-1\\
            \frac{y'}{y-1}&=\frac{1}{x}\\
  \int_{}^{}\frac{y'}{y-1}\dx&=\int_{}^{}\frac{\dx}{x}\\
  \ln |y-1|&=\ln |x| + C,\quad C\in \er\\
   |y-1|&=k_{1} |x|,\quad k_{1}=e^C>0\\
    y&=   1+k x,\quad k=\pm k_{1}\neq 0.\\
  \endalign
$$
(iii)\quad  Zahrnut�m trivi�ln�ho �e�en� dostaneme pro {$ x\neq 0 $}
tvar �e�en�

\centerline{$ {y=   1+k x,\ k\in \er;} $}
naopak ka�d� takov�
funkce je �e�en�m pro {$ x\neq 0 $}. (Zkou�ka:
{$ y'=k,\ xy'=kx,\ y-1=kx. $})
\par
(iv) Jednozna�nost: Pro {$ k\neq 0  $} je funkce
{$ y=   1+k x, x\neq 0 $} r�zn� od jedn�, tedy ji nelze "slepit"
 s trivi�ln�m �e�en�m.
\par
 (iv)\quad �e�en� jdouc� bodem {$ x=0 $} mus� m�t v tomto bod� hodnotu
 1, jak plyne p��mo z rovnice, a mus� m�t v tomto bod� derivaci, kter� se
samoz�ejm� mus� rovnat derivaci zprava i derivaci zleva. Pro {$ x>0 $}
mus� b�t dle p�edchoz�ho {$ y=1+ax $}, pro {$ x<0 \text{ je } y=1+bx.$}
Ob� tyto funkce lze spojit� prodlou�it do nuly. Mus� ov�em platit {$
y'_{-}=b=y'_{+}=a. $} Z�v�r: V�echna maxim�ln� �e�en� na�� rovnice maj�
tvar
$$
\boxed{  y=1+kx, k\in \er, x\in \er.}
$$

       \smallskip

Diskuse vzhledem k po��te�n� podm�nce:
\item{a)} Body {$ [x_{0},y_{0}], x_{0}\neq 0, y_{0}\in \er $} proch�z�
pr�v� jedno maxim�ln� �e�en�.
\item{b)} Body {$ [x_{0},y_{0}], x_{0}=0, y_{0}\neq 1 $}   neproch�z�
��dn� �e�en�.
\item{c)} Body {$ [x_{0},y_{0}], x_{0}=0, y_{0}= 1 $} proch�z� nekone�n�
mnoho maxim�ln�ch �e�en� (kter� maj� v po��tku r�znou derivaci).
