\subsubsection {}
Vyjádřete $\frac{\partial g}{\partial t}(1,1)$ funkce 
$$g(t,u) = f^2(f(u,t), f(t,u)),$$
když $f(1,1)=\frac{\partial f}{\partial 
x)}(1,1)=\frac{\partial f}{\partial y)}(1,1) =1$ a $f$ má spojité 
první parciální derivace.

Pro kladnou funkci $f$, 
která má spojité parciální derivace, vyjádřete první parciální derivace funkce 
$f(x,y)^{f(y,x)}$ pomocí $f$ a jejích parciálních derivací.


\subsubsection {}
 Najděte totální diferenciál následujících funkcí ve všech 
bodech, kde existuje, není-li řečeno jinak.
$$x^2 y^3,\log \tan\frac{y}{x},\frac{x^2- y^2}{x^2 + y^2},
\log (1 +\frac{x}{y});$$
dodefinujte 
$$ \frac{x^2 y}{x^2+y^2}
$$
spojitě v $(0,0)$ a spočítejte diferenciál v $(0,0)$,
a $(1,1)$, pokud existují.

\subsubsection {}
Splňuje funkce $g(x,y) = xy + x f(\frac{y}{x})$ rovnici 
$x\frac{\partial g}{\partial x} + y \frac{\partial g}{\partial y} = xy + 
g$ na $D(g)$ pokud má $f$ všude totální diferenciál? 




\subsubsection {}
Dokažte, že jestliže $f$ splňuje rovnici
$$(*)\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial 
y^2}=0,$$
pak funkce $g(x,y) = f(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2})$ splňuje (*) 
na ${\Bbb R }^2\setminus \{(0,0)\}.$ 

Počítejte všechny druhé parciální 
derivace funkcí $$\log (x^2+y),\sqrt{2xy+y^2},
\arctan\frac{x+y}{1-xy}.$$

\subsubsection {}
(a) Zopakujte si pojem diferenciálu pro $f:{\Bbb R }^m \to \Bbb 
R^n$; zapište ho pomocí parciálních derivací. ($f'(x)(h) = A \cdot h$; 
jak je definována matice $A$?) 

(b) Zopakujte si větu o diferenciálu složeného zobrazení; zapište pomocí 
parciálních derivací. ($f:{\Bbb R }^m \to {\Bbb R }^n, g:{\Bbb R }^n \to \Bbb 
R^p, h = g \circ f, h'(x)(h) = C \cdot h, g'(f(x))(k) = B \cdot k, 
f'(x)(h) = A \cdot h.$ Co jsou matice A, B, C, jaký je mezi nimi vztah? 
Dokažte, že 
$$
\frac{\partial h_t}{\partial x_r}(x) = 
\sum\limits_{s=1}^{m} \frac{\partial g_t}{\partial y_s}(f(x)) 
\frac{\partial f_s}{\partial x_r}(x).
$$
)