       \textbf{1.} Je d�n vztah $e^{xy}+ \sin y + y^2 = 1$ a bod $[2,0]$:
      \begin{itemize}
            \item Doka�te, �e t�mto vztahem je definov�na hladk� funkce $y= f(x)$
                  v jist�m okol� bodu $2$, pro kterou plat� $f(2) = 0$;
            \item napi�te rovnici te�ny ke grafu funkce $f$ v bod� $2$.
      \end{itemize}

      \textbf{�e�en�} Ozna��me $F(x,y) = e^{xy}+ \sin y + y^2 - 1$. Plat�:
      \begin{align*}
            F(2,0)&= 0\\
            F &\in \mathcal{C}^1\\
            \frac{\partial F}{\partial y} & = xe^{xy} + \cos y + 2y
                  = 2\cdot1 + 1 = 3 \quad\text{pro $(x,y)=(2,0)$,}
      \end{align*}
      tedy m��eme pou�it v�tu o implicitn� funkci. Dost�v�me, �e plat�
      \begin{equation}
            e^{xy} + \sin y + y^2 - 1 = 0 \quad\text{na }J = (2 - \delta, 2 + \delta)
      \end{equation}
      a
      \begin{equation}
            y = y(x) \in \mathcal{C}^1,
      \end{equation}
      Dok�eme, �e $y(2) = 0$.
      V�me, �e:
      \begin{align*}
            F(2, y(2)) & = 0\\
            F(2, 0) & = 0,
      \end{align*}
      a v�me, �e na okol� bodu $2$ existuje pr�v� jedno $y(2)$ spl�uj�c� rovnost
      $e^{xy} + \sin y + y^2 - 1 = 0$, tedy $y(2) = 0$.
      Na okol� bodu $2$ existuje pr�v� jedno $y = y(2)$, tedy $y(2) = 0$.
      Podle (2) je $y$ hladk� funkce. Pro rovnici te�ny
      pot�ebujeme spo��tat derivaci $y$ v bod� $x=2$. Spo��t�me ji podle vzorce:
      $$
            y'(x) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} =
            -\frac{ye^{xy}}{xe^{xy} + \cos y + 2y} = 0 \quad\text{v bod� }(x,y)=(2,0)
      $$
      Tedy rovnice te�ny ke grafu funkce $y$ v bod� $x=2$ je $t(x) = 0$.
