\subsubsection {}
Dokažte, že funkce $z = f(x,y)$ je zadána v nějakém okolí bodu 
$(1,-1,1)$ jednoznačně rovnicí $z^2 x^4 + y^3 z + (x^2 + y^2) z^4 - 2 = 
0$ a spočtěte všechny první a druhé parciální derivace $f$ v $(1,-1)$.

(b)  Dokažte, že funkce $f_1(x), f_2(x)$ jsou zadány rovnicemi 
$$ x^3 (y + z) + y^5 + z^4 - 4 = 0,$$
$$ x (y - z) + y^4 + z^5 - 2 = 0$$
jednoznačně v okolí 
bodu $(1,1,1)$ a spočtěte $f_1'(1), f_1''(1), f_2'(1), f_2''(1).$

(c)  Spočtěte $y'(1), y''(1)$, kde $y$ je zadána rovnicí $x^y = y^x$ 
okolo $(1,1)$.

\subsubsection {}
(a) Spočtěte $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ "v $u = 
2, v = 1$", jestliže $x = u+v^2, y = u^2 - v^3, z = 2uv.$

(b) Převeďte do polárních souřadnic výraz $x \frac{\partial u}{\partial 
y} + y \frac{\partial u}{\partial x}.$

(c) Převeďte do polárních souřadnic výraz $\frac{\partial^2 u}{\partial 
x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.$

Polární souřadnice jsou $r, \alpha$, kde $x = r \cos \alpha, y = r \sin 
\alpha, r > 0, \alpha \in {\Bbb R }.$ Hledáme vyjádření pomocí 
$\overline{u}(r,\alpha) = u(r \cos\alpha, r \sin \alpha).$