\subsubsection {}
Doka�te, �e $\lim\limits_{n\to\infty} z_n = z$ v ${\Bbb C }$, pr�v� kdy�
$$\lim\limits_{n\to\infty}(\Re z_n) = \Re z \& 
\lim\limits_{n\to\infty} (\Im z_n) = \Im z.$$
\bigskip
 



\subsubsection {}
Doka�te v�ty o limit� sou�tu, sou�inu, pod�lu, inversn� funkce, slo�en� 
funkce v ${\Bbb C }$.
 



\subsubsection {}
Spo�t�te
$$\sum\limits_{n=0}^k e^{inx}, \sum\limits_{n=0}^k \cos(nx), 
  \sum\limits_{n=1}^k \sin(nx).$$
  
Doka�te, �e �ady

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}, 
  \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{e^{inx}}{n}$$
  
konverguj�.
 



\subsubsection {}
Odvo�te vzorce pro mnohozna�n� funkce $\arcsin, \arccos$ pomoc� 
mnohozna�n�ch funkc� $\log$ a $\sqrt{}$.
 



\subsubsection {}
Kolik hodnot m� funkce $\root 5 \of z$ v bodech $z \ne 0$? Zapi�te ji s 
pou�it�m argumentu $z$ a doka�te.
 



\subsubsection {}
Doka�te, �e v�echna line�rn� zobrazen� $f: {\Bbb C } \to {\Bbb C }$ jsou tvaru 
$f(z) = k\ z$, kde $k\in {\Bbb C }.$ Popi�te toto zobrazen� pomoc� 
podobnosti a oto�en�. Kolika zp�soby to lze ud�lat?
 



\subsubsection {}
Definujme $L_{\alpha}(z) = \log(|z|) + i A_{\alpha}(z)$, kde 
$A_{\alpha}(z) \in arg(z) \cap (\alpha -\pi, \alpha +~\pi>$.

Pro jak� $\alpha$ plat�, �e $L_{\alpha}(z) = L(z)$ pro v�echna 
kladn� re�ln� $z$?
 



\subsubsection {}
Doka�te v�ty o derivaci sou�tu, sou�inu, pod�lu, slo�en� funkce, 
inversn� funkce. 

Specieln� najd�te derivace polynom� $P(z)$ v ${\Bbb C }$ s komplexn�mi 
koeficienty. Jak a kde lze derivovat racion�ln� funkce v ${\Bbb C }$ s 
komplexn�mi koeficienty?
 



\subsubsection {}
Doka�te, �e $f(z) = \overline{z}, f(z) = |z|, A(z)$ nemaj� derivaci v 
��dn�m bod� sv�ho defini�n�ho oboru.
 



\subsubsection {}
Najd�te v�echny funkce $f:{\Bbb C } \to {\Bbb R } \subset {\Bbb C }$ takov�, �e 
$f'$ existuje na ${\Bbb C }$.
 



\subsubsection {}
Doka�te, �e neplat� "komplexn� v�ta o st�edn� hodnot�", t.j. existuje 
funkce $f:{\Bbb C }\to {\Bbb C }$ a $h\in{\Bbb C }$ tak, �e $f'$ existuje na $\Bbb 
C$, ale $f(y) - f(x) \ne f'(x+t(y-x)) (y-x)$ pro $t\in <0,1>.$
(N�vod: Uva�ujte $x = 0, y = 2\pi, f(z) = e^{iz}.$)
 



\subsubsection {}
Je-li $f'(z) = 0$ na okol� $z_0$, pak $f$ je konstantn� na n�jak�m okol� 
$z_0$. (N�vod: $f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$ na 
okol� $z_0$ a $f^{(k)}(z) = 0$ na okol� $z_0$ pro $k\ge 1$.)
\bigskip
 



\subsubsection {}
Doka�te, �e pro $f:{\Bbb C }\to {\Bbb C }$ plat� ekvivalence:

$f'(z) = 0$, pr�v� kdy� $f$ je konstantn� na ${\Bbb C }$.

N�vod: Jedna implikace je snadn�. Ke druh� dokazujte, �e mno�ina 
$\{z\mid f(z) = f(0)\}$ je uzav�en� a otev�en� v ${\Bbb C }$.  



\subsubsection {}
Doka�te, �e $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = L(2).$ Lze 
Abelovu v�tu u��t i pro konvergenci po jin�m polom�ru?
\bigskip
 



\subsubsection {}
Kolik existuje funkc�, kter� jsou holomorfn� v ${\Bbb C }$ a rovnaj� se 
nule na $\{e^{it}\mid t\in <0,2\pi>\}$? Kolik jich existuje, maj�-li se 
rovnat na $\{\frac{1}{n}\mid n\in {\Bbb N }\}$?

Kolik existuje  funkc� holomorfn�ch na ${\Bbb C }$, kter� se rovnaj� nule 
na $\{e^{it}\mid t\in <0,2\pi>~\}$?
 



\subsubsection {}
Spo�t�te index bodu nula ke k�ivce $\varphi$, je-li $\varphi = \varphi_1 
\vee \varphi_2$ nebo $\varphi = \varphi_1 \vee (-\varphi_2)$ nebo 
$\varphi = -\varphi_1 \vee \varphi_2$ nebo 
$\varphi = -\varphi_1 \vee -\varphi_2$, kde $\varphi_1(t) = 
e^{it}, t\in <0,2\pi>$ a $\varphi_2(t) = 2 + e^{it}, t\in <0,2\pi>$.
