Trocha teorie

1. užitečná věta

Je-li funkce f diferencovatelná v bodě , pak je v tomto bodě spojitá.

Důkaz neuvedu, ale raději na konkrétním příkladě ukážu, že obrácená implikace neplatí. Je-li tedy funkce v daném bodě spojitá, nemusí být v tomto bodě diferencovatelná, což je třeba případ funkce v bodě .

Zkusíme tedy vypočítat čemu se rovná v počátku. Výsledek je:

Dostali jsme tedy funkci (ve smyslu definice z předchozí kapitoly), vydělíme ji výrazem a hned nás napadne, že pro a jdoucí k se limita výsledného výrazu bude rovnat jedné, tudíž funkce není diferencovatelná. Pro ilustraci nakreslíme ještěte graf:

Na první pohled je vidět, že v počátku nebudou existovat parciální derivace. O vztahu mezi existencí diferenciálu a existencí paciálních derivací se dozvíme v následující větě.

2. užitečná věta

Je-li funkce f diferencovatelná v bodě , pak má v tomto bodě parciální derivace a platí a , takže budeme psát .
Místo důkazu opět příklad toho, že obrácená implikace neplatí: mějme funkci definovanou předpisem všude kromě počátku, kde ji dodefinujeme 0.   Obě parciální derivace existují a jsou rovny nule. K tomu, aby byla tato funkce diferencovatelná v bodě , musí podle definice platit:

V našem případě vypadá výraz, který máme limitovat, následovně:

Převedeme jej do polárníh souřadnic a zjistíme, že

.

Jelikož výsledek závisí na , tak daná limita neexistuje, a proto není f v bodě diferencovatelná. Jak to vypadá na grafech uvidíme níž.

3. užitečná věta

Má-li funkce f v bodě spojité parciální derivace 1. řádu, pak má v tomto bodě také diferenciál.

Geometrický význam totálního diferenciálu

Řekneme, že rovina v je tečnou rovinou ke grafu funkce v bodě dotyku , jestliže platí

.

Tato rovina musí pochopitelně procházet bodem , což znamená, že a tedy tečná rovina má rovnici . Koeficienty , přesně odpovídají těm z "2. užitečné věty". Tečnou rovinu tedy můžeme najít jenom v případě, že má funkce v bodě diferenciál. Odtud je také vidět, že diferenciál funkce v daném bode je "přírůstek na tečné rovině". Funkce určuje rozdíl mezi skutečným přírůstkem funkce a přírůstkem na tečně. Toho se dá využít například v numerických výpočtech. Tečná rovina je nejlepší lineární aproximace funkce v okolí daného bodu.

Mějme část sféry se středem v počátku a poloměrem 10. Bodem [5, 5, 5*sqrt(2)] prochází nespočetně mnoho rovin, ale tečna je jen jedna...

Předchozí | Další